ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΛΛΕΙΨΗ

Ορισμός

Η έλλειψη είναι μία κωνική τομή και προκύπτει από την τομή ενός κώνου με επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του. Μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, όπως προκύπτει στην ειδική περίπτωση που η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του είναι κύκλος με κέντρο επί του άξονα. Μια έλλειψη χαρακτηρίζεται από τον μεγάλο ημιάξονά της, ${\displaystyle \alpha }$ και από την εκκεντρότητα της, ${\displaystyle \varepsilon }$.

Συγκεκριμένα, ας είναι ${\displaystyle E_{1}}$, ${\displaystyle E_{2}}$ δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση ${\displaystyle 2\gamma }$ μεταξύ τους και ${\displaystyle \alpha >\gamma }$ ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα δύο σταθερά σημεία ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ είναι σταθερό και ισούται με ${\displaystyle 2\alpha }$. 

Βασικές έννοιες

Τα σημεία ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ ονομάζονται εστίες της έλλειψης.

Το μέσο Ο του ευθύγραμμου τμήματος ${\displaystyle E_{1}E_{2}}$ ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Το κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.

Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίες είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα. O μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της έλλειψης. O μικρός άξονας έχει μήκος 2β, ${\displaystyle \beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}$. Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle E_{1}AO}$ (βλ. σχήμα).

Αν καλέσουμε γ την απόσταση Ε1-Ο που είναι ίση με την Ο-Ε2 και α την απόσταση ΔΟ, που είναι ίση με την ΟΒ, τότε ο λόγος γ/α = ε ονομάζεται εκκεντρότητα ή εκκεντρότης της έλλειψης.
Η εκκεντρότητα της έλλειψης, ${\displaystyle \varepsilon =\gamma /\alpha ,\;0\leq \varepsilon <1}$ δηλώνει πόσο 'στενή' 'η 'πλατιά' είναι η έλλειψη.

Για ${\displaystyle \varepsilon =0}$ έχουμε κύκλο, ενώ για ε κοντά στο 1 μία 'μακρόστενη' έλλειψη. Συνεπώς ο κύκλος είναι έλλειψη με 0 εκκεντρότητα. 

   

Εξισώσεις της έλλειψης

1. Κανονική μορφή

Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι άξονές της είναι πάνω στους άξονές του.

Σε Καρτεσιανές συντεταγμένες εκφράζεται ως:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}$

με ${\displaystyle \,\beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}$.

Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι:

${\displaystyle x=\alpha \cos t,\quad y=\beta \sin t.}$

με παράμετρο το ${\displaystyle t,\;0\leq t<2\pi }$.

Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι: 

 

 2. Γενική μορφή

 Έστω μία κωνική τομή

${\displaystyle \,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0.}$

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν ${\displaystyle \,4ac-b^{2}>0.}$ Για ${\displaystyle \,b=0}$ έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για ${\displaystyle b\neq 0}$ έχουμε και στροφή.